简介
代数究竟为何物？它起源于何处？
谁是真正的“代数之父”？
字母符号是如何从无到有的？
代数如何达到了越来越高的抽象层次？
牛顿与莱布尼茨的“微积分之争”有无定论？
数学家在举世瞩目的成就背后，经历了怎样的磨难？
从未知量到抽象概念，从方程、向量空间、域论到代数几何，本书以诙谐的笔触展现了代数几千年发展史中的重大事件和核心人物，介绍了代数的基本知识，以代数这一重要而有趣的角度呈现数学思维的戏剧性进化历程，向读者 展现了一种感知世界的全新方式。作者凭借历史学家的叙事能力，带领读者踏上一段令人称叹、充满挑战的数学之旅。
作者介绍
约翰·德比希尔 / John Derbyshire
出生于英国，美国系统分析师、作家和评论家，曾学习过数学和语言学。他曾是美国《国家评论》的专栏作家，其写作题材非常广泛，著有《素数之恋》《梦见柯立芝》等多部作品。
部分摘录：
我们可以对任意维数的任意流形做类似的事情。现在，三角形是可以包围一个区域的最简单的平面凸多边形。对数学家来说，它是一个二维单形 。三维单形是一个四面体，即三棱锥，它有 4 个顶点和 4 个面，每个面都是一个三角形。四维单形是四维空间中的类似物，有 5 个顶点和 5 个四面体“面”（图 15-2）。为了完整起见，我们把线段称为一维单形，把孤立的点称为零维单形。
任何流形都可以像这样被“三角剖分”成许多单形，但是如果这个流形有洞，就像环面一样，那么几个单形就必须被黏合在一起，形成一个“单纯复形 ”。一旦用这种方法对流形进行三角剖分，就可以得到它的同调，即单纯同调 。这个同调及对应的上同调携带了这个流形的有用信息。另外，同调群也比同伦群更容易处理。（顺便说一下，这种方法与地图绘制者在实地测量时进行的三角测量是相似的，见下文。）
我们已经看到了 20 世纪后期代数学的一个关键概念——把代数对象附加到一个流形上 。我提到的这个代数对象就是我们在进行拓扑研究时出现的群。然而，在同调论中，我们还可以把向量空间和模（见第 12 章）附加到一个流形上。这为代数拓扑和代数几何开辟了一片丰富的新领域。在这片领域中，最著名的探索者是法国数学家让·勒雷（1906—1998）、让–皮埃尔·塞尔（1926— ）和亚历山大·格罗滕迪克（1928—2014），稍后我再介绍他们。
这就是艾伦伯格和麦克莱恩 1942 年发表那篇论文的背景。麦克莱恩（和伯克霍夫）此前刚刚写完了一部杰作，在当时已经开始流传的“近世代数”的启发下，他们用非常抽象的方式研究了这个主题，从抽象程度上来说，他们的处理方式已经完全超出了我给出的简短描述，也与三角形和四面体相去甚远。在写这篇论文时，他们二人都认为可能还存在更高的抽象层次。
在此三年后，他们在另一篇题为《自然等价的一般理论》的合作论文中达到了那种更高的抽象层次——他们在这篇论文中首次提出了范畴论。
我即将介绍的范畴论是从同调论中自然产生的。在同调群最初从拓扑学中产生之后的四十年里，人们发现同调群与其他代数分支有着深刻的联系，特别是与第 13 章中勾勒的希尔伯特关于多项式环的不变量的工作密切相关。通过黎曼建立的函数论与拓扑学之间的联系，它们还与分析学相关——与研究函数及函数族的高等微积分有关。不久之后，在 20 世纪 50 年代，这一切发展成一个被称为同调代数 的研究领域。1955 年，艾伦伯格与伟大的代数拓扑学家亨利·嘉当（1904—2008）合作编写了第一部关于同调代数的著作。其中的普遍性非常高，与范畴论可以自然地平行发展。
※※※
范畴论背后的一般思路如下。
诸如群、环、域、集合、向量空间和代数这样的代数对象是由元素（例如数、置换、旋转）和合成这些元素的一种或多种方式（例如加法、加法和乘法或置换的合成）构成的。当我们找到把某个对象变换为，或者说“映射”为另一个对象或者它自身的方法时，这些对象的结构往往会清晰地显示出来。（例如，回想一下，在“数学基础知识：向量空间和代数”中，向量空间是如何被映射到它自己的标量域的。同样，回想一下对伽罗瓦理论的概述以及其中的核心问题——将一个解域置换或映射到它本身并且保持系数域不变。）
尽管它们是不同种类的对象，映射也有不同的可能，但是在所有情况下，贯穿元素、合成方式和变换的结构和方法非常相似。例如，考虑环与理想的关系（见第 12 章）以及群与正规子群的关系（见第 11 章），这两种关系之间有相似之处。那么，我们是否可以提炼出某些一般原则，或者说代数结构的一种一般理论 ，使得所有 这些对象以及我们未来可能提出的其他对象都可以统一在一组超级公理，或者说一种普遍代数之下呢？ 7
7 术语“普遍代数”（或译为“泛代数”）有一段有趣的历史，至少可以追溯到阿尔弗雷德·诺思·怀特海（1861—1947）在 1898 年出版的一本书的书名，怀特海是英国数学家、哲学家，他与罗素合著了《数学原理》。埃米·诺特也使用了这个术语。不过，我在这里只是偶尔提示性地使用这个术语，与怀特海、诺特或者其他任何人的用法不完全一致。
艾伦伯格和麦克莱恩给出了答案：是的，这是可以做到的。为群或向量空间这样的数学对象组成的集合配备上对象之间一些“性质良好”的映射族，这就是一个范畴 ，其中的映射被称为态射 。现在，你还可以（小心地）再前进一步，建立一个范畴（连同其中所有的态射）到另一个范畴的超映射。这种超映射被称为一个函子 。
举例来说，回顾我在第 14 章中对 p 进数的讨论。我构造了 5 进整数系，然后我还对此提到：“对普通整数环 \mathbb{Z} 可以定义一个‘分式域’，即有理数域 \mathbb{Q} ，同样地，对于 \mathbb{Z}_5 ，有一种方法可以定义其分式域 \mathbb{Q}_5 ，在这个域中不仅可以做加法、减法和乘法，而且还能做除法。”其中所隐含的技巧就是范畴论中的函子 的概念。
事实上，\mathbb{Z} 不只是一个普通的环，它是一个相当特殊的环，这种环被称为整环 ，其中的乘法可交换（对一个环来说，这不是必要的），它还有乘法单位元“1”（对一个环来说，这也不是必要的），而且只有当 a 或 b 等于 0 或者二者都为 0 时，ab=0 才成立（这也不是环的必要条件）。从 \mathbb{Z} 得到 \mathbb{Q} 的方法是从一个整环出发，构造一个分式域。一般地，对任何整环都可以构造一个分式域，因为我们能够构造从整环及其间的映射（或由这些映射组成的一个子集）所构成的范畴到域及其间的映射（或类似的子集）所构成的范畴的一个函子。
尽管我不打算深入讨论这些内容，但是我忍不住要提一下我最喜欢的函子：遗忘函子 。它是从一个由代数对象组成的范畴（比如群范畴）到（不考虑结构的）最普通的集合范畴的函子，“遗忘 ”原来对象中存在的所有结构。
※※※
在如此高的抽象程度上可以得到有用的数学吗？这取决于你向谁问这样的问题。直到 2006 年，范畴论仍然存在争议。当你提到范畴论时，许多专业数学家（我认为尤其是英语国家的专业数学家）都会皱眉或摇头。只有少数本科课程讲授范畴论。在迈克尔·阿廷于 1991 年出版的 600 多页的本科权威教材《代数》中，“范畴”“态射”和“函子”这几个词从未出现过。
在 20 世纪 60 年代中期，当我是一名数学系本科生时，我最常听到的观点是，尽管范畴论可能是组织现有知识的一种便捷方式，但是它太过抽象，无法产生任何新的理解（不过我需要说明，尽管范畴论起源于美国，但英国人怀疑它是从欧洲大陆传来的。）
无论如何，麦克莱恩非常喜欢他与艾伦伯格共同创造的理论。到了 20 世纪 60 年代中期，就在《近世代数概论》修订版问世之时，他重新改写了整本书 8 ，使之向范畴论方向倾斜。其他人也追随麦克莱恩，如果范畴论不能被普遍接受，那么它当然也不能作为本科生的代数课程讲授，它在数学界中有众多拥趸。追随者们充满信心地在范畴论中打趣。威廉·劳维尔（1937— ）在一本有关范畴在集合论中的应用的书的开头说：“首先，我们剥夺了对象的几乎所有内容……”罗宾·甘迪（1919—1995）在《新方塔纳现代思想辞典》中写道：“那些喜欢研究特殊、具体问题的人喜欢把范畴论说成‘泛化抽象废话’。”9
8 改写后的著作为《代数学》（麦克莱恩与伯克霍夫合著）。——译者注
9 据我所知，范畴论唯一一次在流行文化中出现是在 2001 年的电影《美丽心灵》中。其中有这样一幕，一个学生对约翰·纳什（1928—2015）说：“伽罗瓦扩张实际上等同于覆盖空间！”然后那个学生一边吃着三明治，一边喃喃自语道：“……函子……两个范畴……”这似乎暗指可以通过一个函子把由所有的伽罗瓦扩张（见“数学基础知识：域论”）组成的范畴映射到由所有的覆盖空间（一个拓扑概念）组成的范畴——这是一个非常深刻的见解。
范畴论的推动者提出了大量断言，其中一些超出了数学领域，进入了哲学领域。事实上，范畴论从一开始就带有一些自觉的哲学意味。“范畴”一词取自亚里士多德和康德，而“函子”是从德国哲学家鲁道夫·卡尔纳普（1891—1970）那里借用的，卡尔纳普在他 1934 年的著作《语言的逻辑句法》中创造了这个词。
范畴论的哲学内涵超出了本书的范围，不过我将在本章结尾对它们做一个泛泛的评述。当然，很多职业数学家使用这个理论取得了重要的成果。比如，亚历山大·格罗滕迪克就是这样的一个人。
※※※
格罗滕迪克是近代代数学历史上最具传奇色彩且最具争议的人物。大量关于他的生活的文献不断出现，目前为止，这些文献的数量可能已经超过了关于他的数学工作的作品的数量。迄今为止，最易于理解而且最详尽的关于他的生活和工作的英文文献是阿琳·杰克逊 10 的《仿佛来自虚空：亚历山大·格罗滕迪克的故事》（“As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck”），这篇文章被分成两部分发表在 2004 年 10 月和 11 月的《美国数学学会通告》上，共计约 2.8 万字。互联网上还有许多专门讨论格罗滕迪克的网站。能阅读英文的读者可以从名为“Grothendieck Circle”的网站看起，该网站也包含了许多用法文和德文写就的内容。上面提到的阿琳·杰克逊为他写的传记的两部分也在其中。
10 阿琳·杰克逊引用了朱斯蒂娜·班比的一些评价，她那时正与格罗滕迪克生活在一起：“他数学上的学生都是很认真的，而且很有纪律，工作非常努力……在反文化运动中他则见到些整天晃荡听音乐的人。”
格罗滕迪克的故事之所以引人入胜，是因为它讲述的是那种典型的迷人的“超凡脱俗”的人物：圣愚、疯狂的天才以及遁世的修行者。
我首先讲他天才的一面。格罗滕迪克的辉煌年代是 1958 年到 1970 年。1958 年，法国高等科学研究所（以下简称 IHÉS）在巴黎成立，它是根据莱昂·莫查纳（1900—1990）的构想建立的。莫查纳是一位具有俄国和瑞士血统的法国商人，他认为法国需要一个私立的、独立的类似于美国普林斯顿高等研究院的研究机构。格罗滕迪克当时 30 岁，是 IHÉS 的创始教授。
IHÉS 的私立性和独立性因持续的资金需求问题而受到影响。莫查纳的个人资源不够支撑 IHÉS 的运营，从 20 世纪 60 年代中期开始，他开始接受法国军方的小额资助。格罗滕迪克是一名狂热的反军国主义者。由于格罗滕迪克不能说服莫查纳放弃军方的资助，因此他就于 1970 年 5 月从研究所辞职了。
在 IHÉS 的 12 年里，格罗滕迪克是一位轰动数学界的人物。他研究的领域是代数几何，他把这门学科提升到一个更一般化的水平，使之吸收了数论、拓扑学和分析学的一些关键内容。
格罗滕迪克追随上一代法国数学家让·勒雷的开创性工作。