简介
《烧掉数学书》是一本全新概念的数学科普。这本书的一大特点是抛开传统晦涩的数学符号和讲述方式，另起炉灶，从零开始，用年轻人易于接受的语言阐释高深的数学知识和概念。这本书打破了数学教育界认为在讲授微积分之前必须花大量时间和精力学习微积分的严格化基础的惯例，从理解微积分本身的用途和方法着手，反过来再提出微积分基础严格化的问题，从而顺理成章地引出极限和逼近等概念。这种方法更符合人们的学习和认知规律，让人能自然而然地接受和理解这些抽象的概念和技巧的源流和必要性，从而为深入的学习打下好的基础。
这是一本写给所有恨数学的人的书。它的读者不仅是高考过后就忘记数学的人，也包括许多正在学校苦读数学但从未感到激情、狂热和发自内心的喜爱的人。
忘掉你所知的关于数学的一切。没有老师，也不用去管那个一代代传下来的叫“数学”的东西。
数学是我们的，我们自己创造数学，从无到有。
数学是美丽的学科，在这里永远也不用记任何东西。只要你基本“掌握”了加和乘，我们就能开始奇异的数学旅程了。
读完本书你将变得更有创造性，独立思考的意识从未如此强烈！
最重要的是你将爱上数学。
作者介绍
杰森·威尔克斯拥有数学物理学和心理学双硕士学位，写作本书时在加州大学圣巴巴拉分校攻读进化心理学博士学位。
部分摘录：
这一份前言是写给教授，或者数学专家，或者数学背景较强能够理解这一节的学生，或者没有数学背景但有好奇心的学生，或者中学老师，或者喜欢偶尔思考数学的人。
这不是你的数学课本中的那种“引论”。与你见过的大多数书比起来，这里更为浅显，同时也更加深奥，这是一次新的试验。
什么样的试验？
这本书很容易被人误认为是数学课本，当然它与数学课本有很多共性，也的确可以用来当作课本。为了解释这本书的目的和结构，我必须创造一个新名词：前数学（pre-mathematics）。我所说的前数学不是指代数或微积分的预备知识这类用来折磨天真学生的让人厌烦的玩意。这个词指的是发明那些数学概念的人头脑里的一整套想法、问题和动机，驱使他们定义和研究新的数学对象的东西。
例如，导数的定义以及从中衍生出来的大量定理都是很重要的数学内容，在每本微积分教材中都会讲到。但是这个概念为什么要这样定义，而不是采用其他各种可行的定义方式，以及人们（在这些东西还没有写人数学课本之前）为何选择了这个标准定义而不是其他备选定义的，这其中的过程并没有被给予足够的关注。而前数学一词指的正是这些可能性和推理的过程。前数学不仅包括数学概念的其他可行定义（用这些定义能推导出本质上相同的定理），还包括在尝试发明标准的数学定义和定理的过程中各种可能的摸索路径，这一点可能更为重要。这是从无到有创造一个数学概念必须经历的思维路径。如果数学是香肠，前数学就是香肠的制造过程。
这就是这本书的主题：讨论从模糊和定性到精确和定量的过程，或者说，如何自己发明数学。我所说的“发明”不仅仅是创造新的数学概念，还包括学习如何重新发明已经被其他人发明了的数学知识，从而获得对这些概念更深人的理解，仅仅阅读标准教科书是无法做到这一点的。这个过程以前从没有被明确讲授，然而它比任何数学课程都更为重要。无论是对于纯数学还是应用数学，学会自己（重新）发明数学都极为重要。其中包括纯数学的问题，例如“数学家是用什么方式定义曲率，从而可以讨论无法描绘的17维空间？”也包括应用数学的问题，例如“根据已知条件，应该怎样给研究的对象建立模型？”这些问题在教科书中也经常见到，但往往是作为思考题，篇幅不多，地位也远不如定理和结论之类的事情重要。
在各个层次的数学课程中，从小学到博士后水平，都缺失了重要的一环，就是对模糊和混乱的创造过程的忠实描述，而这个缺失是数学课让最积极的学生也感到厌倦的主要原因之一。如果对数学概念创造过程中的思想之舞没有深刻认识，就无法充分领悟数学的优雅和美丽。这个过程不像看上去那样难，但是需要我们彻底改变讲授数学的方式。我们需要在教科书中至少纳人一些错误的假设、推理和结论，让学习者在接触现代形式的定义之前体验到这些。我们需要像讲故事一样写教科书，让书中的角色经常被难住，不知道下一步该往哪里走。这本书就是我描绘前数学的一些核心概念和分析策略的一次不成熟的尝试：职业数学家每天都要用到这些策略，但是在教科书中和课堂上很少拿出来讨论。
这凸显了一个要点。强调前数学需要彻底改变数学的教学方式，但是并不需要职业数学家改变他们思考数学的方式。前数学是他们的生活必需品。这就是他们用于思考的语言，他们正是这样创造——或者说发现——了这门学科。从这个角度来说，这本书的内容并不新鲜。这本书只不过是将通常隐藏在（“不友善的”课本中的）形式化证明或（“友善的”课本中的）基本未加解释的事实陈述后面的内容呈现到聚光灯下。之前无论是友善的人门教材还是格罗滕迪克式的让人生畏的专著[1]都没有以便于教学的方式呈现过这个创造过程。
对于某个给定的概念，任何一本书都不可能在讲述其中的数学之前穷尽其所有的前数学，本书也不例外。我的做法是构造一种前数学的叙事，从一个概念引出另一个概念，从加和乘开始，很快推进到单变量微积分，然后又回到通常被认为是预备知识的（其实更高深的！）主题，最后进人有穷维和无穷维空间中的微积分。在这个过程中会引人大量数学，这也是为什么这本书可以用作数学课本。一旦某个给定概念的前数学得到了充分阐释，数学本身就会变得顺理成章，因此我们重点关注前者。这并不是说这本书会穷尽所讨论主题的方方面面。远非如此！这里只是我个人认为缺失的东西，包括信息、动机，以及合理的教学方式。这本书是对概念的蹩脚证明，而不是打磨好的钻石。我希望它能引发讨论，而不是下最后的结论。
另外必须明确我没有批评的东西。数学教学的基础不能等同于数学的逻辑基础，虽然它们在大部分教科书中被混为一谈。我并不是在批评这个领域的逻辑基础，所谓的逻辑基础指的是选择一阶谓词演算作为逻辑推理规则，选择ZFC、NBG或某个你喜欢的集合论公理系统作为推理的出发点。[2]我批评的是用数学的逻辑基础作为数学教学的出发点，这是我们绝大多数人要接触的东西。
为什么前数学被忽视？
前数学推理在职业数学家的思维中普遍存在，因此有必要问一问为什么在课本和期刊论文中却很少出现。原因有很多，但我认为罪魁祸首是专业性。虽然前数学对于理解这个领域很重要，但在要求专业性的场合，包括（但不限于）学术期刊上的数学论文，却绝对禁止这样做。为什么？因为真正的前数学不够正式。推动严格的数学理论发展的是各种预感、猜测和直觉，而要忠实准确地解释这个不严格的思维过程，就只能用不严格的语言表述不严格的论证：这种语言会向读者准确呈现出我们不是100确信自己的直觉位于正确的轨道上，而且我们（在某种程度上）总是在黑暗中摸索。这种不严格的语言并不仅仅是为了让傻瓜也能懂。它能准确地描述创造新数学概念过程中的推理链条。如果对数学的创造过程没有深刻的理解，对这个学科的理解就只能停留在如果不这样就会怎样的水平。
需要澄清的是，这并不是批评数学的严格表述或严格证明。但严格的证明并不是一下就蹦出来，直接就成形了，包括（更重要的）其中所依赖的数学概念的严格定义也是如此。对不严格的思考过程的过于严格的描述会给出不存在的原理的证据，从而误导读者，使得他们认为自己没有认识到如何从A推出B肯定是因为自己的知识有缺陷。而事实上这通常是因为背后的前数学推理本身缺乏精确性。要完整地揭示这个过程，我们就需要给出不严格的过程的不严格的描述。专业性有它本身的目的，但它的主要作用是审查正确性，因此在其中基本已经没有前数学的位置了。
我希望这本书是怎样的，初衷是什么
这本书的目的是尽可能诚实可信地解释数学世界的一部分，确保每一步的秘密都毫无保留。在每一步我都会尽量将必要的推演与历史偶然导致的传统区分开来：我要强调，“方程”和“公式”这些唬人的字眼只不过是“句子”的另一套说辞：我会尽量澄清，所有的数学符号都只不过是我们可以用口语表述的事物的缩写：在这个过程中我会尽量请读者参与发明好的缩写：我会对其他课本中是如何做的与它们为何这样做加以明确的区分：我在呈现事情的渊源时不会用事后的标准形式，这些标准形式都被梳理过，体现不出之前的思维过程，我至少会展现一些死胡同，我们大多数人在最终得出答案之前都会受诱惑逡巡其中：我会尽我所能地深人解释一切，同时保持叙述的连贯性：我发誓宁可把书烧掉，也绝不说“请记住”之类的话。我对这本书还有很多愿景，但首先要做到上面这些。
我也会尝试解释这个领域在结构的必然和条件的随意之间的边界上的奇怪舞蹈。这一点我们实际上从未向学生解释过，因此一旦有可能我就会加以强调。我的意思是这样。一方面存在随意性。我们可以随意选择我们喜欢的公理，甚至是不一致的。定义并推演一套不一致的形式系统并不是不合法，只是很无趣。例如，“被零除”就并非不合法，所有数学教授都知道这一点。我们完全可以定义一个符号★具有如下性质，对于所有a都有★≡a/0，许多数学分析的书正是这样做的，这一节通常被称为，扩展实数系”。[3]但如果你坚持要定义这个符号，你得到的代数体系就不会是场。如果你坚持说它是场呢？也行，但那样你就只能谈论“一个元素的场”。如果你坚持认为还有其他元素，或者根据你的定义，这个场至少有两个元素呢？也可以，但这样你得到的就是一个不一致的形式系统。你就是想这样？也行。但这会使得任何语句都是可证的，因此没有什么意思。
要强调的是，即便像这样踢到了石板，我们也没做什么不合法的事情。我们只是使得讨论变得无趣。所有数学家都明白这一点，至少在选择研究对象时，在数学中是没有律法的。数学结构只有是不是优雅和有趣。是谁决定什么是优雅和有趣呢？我们。证毕。
另一方面，数学中存在结构。一旦结束了“什么都行”的阶段，决定了所作的假设和探讨的对象，接下来我们就会发现我们构想了一个不由我们决定的真理世界，我们对它可能知之甚少，我们的任务是探索它。
显然，如果我们没有告诉学生这个关于随意和必然的基本事实，我们就是在误导他们对数学本质的认识。不知为何，我们几乎没有告诉过他们这个随意的创造和必然的推演之间的奇怪关联。我认为正是因为这一点使得许多学生觉得数学是某种极权主义者的荒野，充斥着未经界定的法律，没有人向你解释，你总是担心会不小心犯错。这就是我在中学时的感觉，我在前言中讲的那个故事之前发生的事情。这也是我在这本书中试图弥补的事情。
这本书决定它还想要这样
虽然我想尽可能的多讲一些数学整体上的格局，但我还是需要花时间讲一下标准教科书中讲述的那些思想，也许这样才能真正对学生有所帮助。为达此目的我需要做一点叙述，让我们能够得到标准课本上的许多定义，然后才能解释从中衍生的数学论证。不过，基于这本书的目的，我保证不会以标准形式引出这些定义，标准形式通常让人感觉很突兀，顶多稍加解释一下这样做的动机，可能是思想或历史方面的，然后就猛地一下跨越到数学定义本身。为了避免用这样的方式，我发现自己面临着诸多限制。问题可以总结如下：
假设你除了基本的加和乘，不具备其他任何数学知识。不必知道具体的计算步骤，但是你知道“两倍大”之类的说法是什么意思，你也知道计算的要点。你的世界里没有课本。你如何才能发现哪怕是最简单的那些数学呢？举个例子，你如何才能知道长方形的面积是“长乘以宽”？
说面积在测度论中是怎么定义的，或者说公理或欧几里得的第五公设，或者说公式A=lw在非欧几何中不成立之类的，都是扯淡。这个问题关心的不是严格性，也不是历史，而是要创造某种东西。这个问题问的是如果没有人帮助你或替你做，如何从模糊的、定性的、日常的思维过渡到精确的、定量的、数学的思维。
最初是我最好的一个朋友艾琳·霍洛维茨（Erin Horowitz）问我这个问题。在我刚开始写这本书的时候，我们偶尔会在一起聊几个小时的数学。她不是学数学的，但她很好奇，总是想知道事情的缘由。我们会谈论形式语言、泰勒级数、函数空间，等等，内容不拘，随心所欲。有一天她问我上面这个问题，关于数学思想是如何创造出来的。这个问题用这样的方式提出来，用长方形的面积作为测试，并不是很难回答，我给出了我能想到的最简单的论证，这就是你将在第1章“如何发明一个数学概念”中看到的关于面积的论证。等我讲完，她又问为什么在学校里从不这样教。她完全理解了这个简短的论证，任何人都能理解。不可思议地是：这个论证涉及解泛函方程。
数学系很少有课程专门讲泛函方程。我不敢说是不是应该有更多，但这其实是一件相当让人困惑的事情。毕竟，每一个数学系的本科生肯定都会遇到大量微分方程，他们必然也会遇到积分方程，但研究和解决未知函数的一般表达式的数学领域在很大程度上却被忽视了。虽然这个领域实际上是数学最古老的一部分，我们却没有经常听到它。阿克塞尔（J.Aczél）在他的名著《泛函及其应用讲义》（Lectures on Functional Equations and Their Applications）中这样说道：“这个领域多年以来没有得到应有的重视，虽然它历史悠久，在应用中也很重要。”
此后，我吃惊地发现，只要讲述的方式适当，泛函对于解释即便是最简单的数学概念也很有帮助。[4]做法是这样。不用“泛函方程”的说法，如果有可能，连“函数”的说法都不要用。大部分人在数学课上都有糟糕的体验，如果采用太多正统的数学术语，很容易吓到他们，从而封闭他们天生的创造性。你可以这样说：
我们有一个模糊的、日常的概念，想要把它变成精确的数学概念。没有哪种做法是错误的，因为是我们自己决定我们进行的这个转换有多成功。不过我们想尽可能多地将日常概念都转换成数学概念。我们从说一些关于日常概念的句子开始。然后我们得出这些句子的缩写。[5]然后我们从思维上剔除那些不符合要求的可能。如果有需要，我们可以反复厘清，将越来越多的模糊的日常信息转换成缩略形式，然后从思维上抛弃那些不合适的。通过将例子写下来，我们偶尔会逐渐意识到，我们寻找的精确定义必须具有某种形式。最终我们可能会得到不止一种可能，即便只有一种，我们也不知道这是不是就是唯一的，但这不重要。如果有多个候选定义符合我们的要求，我们可以像数学家只做不说的那样，挑选一个我们认为最漂亮的。什么样的是“最漂亮的”？这取决于我们。
虽然看上去很疯狂，我认为借助于泛函方程的非正式数学论证不仅提供了一条更好的解释各层次数学中的定义的途径，同时也提供了一条反权威的教学风格，让读者能够以在传统课本中闻所未闻的方式参与创造数学概念的过程。常常（虽然不总是）让人吃惊地是，很少讨论的从模糊的定性概念转化到定量的数学概念的前数学实践，居然涉及泛函方程。在第1章，我们用这个思想去“发明”面积和斜率的概念，得到标准的定义不是通过简单的假设，而是从日常的定性概念推演出来。这个简单的例子展示了前数学教学法是怎么回事，但肯定还有改进的空间。在后面，我们还将继续用这种方式“发明”大量数学，有时候用到泛函方程，有时候不用，但都会明确我们想做什么，以及如果不这样还能怎么做。