简介
- 大致内容：本书从最底层开始搭建数学，忠实复现了现代数学的架构，展示了人类理性求索的历程，并以寻找五次方程求根公式为例，给出了一个完整的拆解问题、明确定义、分析抽象、演绎推理、得到答案的过程。
- 特色：本书以第一人称视角叙述，自然生动。但是，不同于一般的科普书，本书未放弃与丧失一丝现代数学的完整性与严密性。另外，全书纵向跨度很大，从最底层的形式系统到最高层的伽罗瓦理论，会为读者呈现非常多哲学与数学的发展脉络。
- 读者对象：面向受过初中教育及以上的人群，旨在普及与激发理性、思辨、求索之精神。
作者介绍
韩旭。
作者表示他是谁不重要，内容才重要。
部分摘录：
你可能很难想象，这貌似人畜无害的寥寥数字，承载着极为深刻的人类心智的光辉。为了回答它，人们探索了上百年，历史上绝顶聪明的那些头脑们都曾败下阵来。最终，一位年轻人征服了它。答案写在一封信中，落款是1832年5月29日。第二天，这个年轻人参加了一场决斗，卒，享年21岁。他叫伽罗瓦（Galois）。如今，那封信中的思想已成为现代数学地基性的理论，在我看来，它也是数学从摆弄具体技巧迈向把握抽象结构的开端。
若将问题1.1比做一座山峰，我们要做的，就是一起从山脚开始，边攀登边欣赏沿途的风景，同时我会告诉你一些登山的技巧，直到最终登上顶峰。相信我，届时我们将欣赏到无比辉煌壮丽的景色！在出发前，我们先随便闲聊几句(2)。
从何聊起呢？回答问题的前提是明确问题。数学的核心也正在于明晰定义与概念，然后基于逻辑把玩与演绎它们。于是，我们先来聊聊问题1.1中的一些概念。诚然每个字想必你都认识，每个词也都感觉知晓，但是下面这四个概念，我们真的明确吗？
· 什么是方程？
· 什么是根？
· 什么是五次方程？
· 什么是求根公式？
1.1 谜一样的墓志铭 故事可以从古罗马说起。很久很久以前，在埃及的亚历山大港，一位老人埋葬了自己早逝的孩子。不像伽罗瓦的年龄能被精确到日，历史并没有流传下这位老人太多的信息，除了一篇迷一样的墓志铭(3)：
行人啊，请稍驻足，这里埋葬着丢番图。
上帝赋予他一生的六分之一，享受童年的幸福。
再过十二分之一，两鬓长胡。
又过了七分之一，燃起结婚的蜡烛。
爱子的降生盼了五年之久。
可怜那迟来的儿郎，只活到父亲岁数的一半，便进入冰冷的坟墓。
悲伤只有通过数学来消除。
四年后，他自己也走完了人生的旅途。
这位老人就是古代世界著名的数学家丢番图（Diophantus）。那么问题来了，他活了多少岁呢？你可能会敏锐地注意到，他的年龄需要是12和7的倍数。于是，84岁是一个合理的猜测。再代入验证一下，会发现的确符合描述！所以丢番图活了84岁。
时间拉回到现代。在我上小学那会儿，所谓“鸡兔同笼”问题算是比较有挑战的难题了，想必你也遇到过？
今有鸡兔同笼。上有三十五头，下有九十四足。鸡兔各几何？
我已经忘记了小时候第一次看到这个问题时的反应。但至少现在看来，还是有点思路的。假设我们吹一声哨子，动物们都会抬起一只脚，于是地上便少了35只脚。再吹一声又少35只。此时鸡已经都飞起来了，还剩24只脚一定都是双脚站立的兔子的！所以兔有12只，鸡便有23只。
这两个问题都很简单嘛，分分钟解决！然而我们必须意识到，我们虽然解出了这两个问题，但使用的是两种精巧、特定的思路，并未诉诸一种普适的方法。于是，若问题中的数字换了换，或者问题的结构不一样了，我们又得苦苦寻求新的解答。我不知道你是怎样的，反正我是不爱动脑子。能无脑解出来的问题，干嘛要动脑筋呢？这个能让我们无脑解决问题的东西，就叫方程(4)。
概念1.2 方程（equation）是含有未知量的等式。
我记得这是小学数学课本上给出的定义，不得不说，十分恰当。换言之，只要我们将问题翻译成含有未知量的等式，那么我们就得到了一个方程！诚然不同文明曾经都有各自表示未知量的方法，现代通行的做法是使用罗马字母
a,b,c,d,…
A,B,C,D,…
与希腊字母
γ,δ,λ,σ…
Γ,∆,Λ,Σ,…
我们也遵循之。于是，如果设丢番图的年龄是n的话，他的墓志铭翻译过来无非就是如下这一行等式：
同样，如果记鸡有a只，兔子有b只，那么鸡兔同笼问题就是如下这两个等式：
一般的，所谓列方程，其实就是在将问题陈述的事实翻译成数学等式。翻译完成后，我们便可以利用数学理论、工具与技巧来研究它，以期解出我们的未知量。
如果你觉得方程也就上面两例那么回事，太简单，不值一提，那就大错特错了！下面我再举一例，不过我们有言在先，这纯粹是一个独立的例子，若看不明白完全可以跳过，千万别把这书扔了不看了……
这是描述氢原子的薛定谔方程（Schrodinger equation），是量子力学奠基性的经典方程。其中大部分字母都是数学与物理常数，包括,µ,e,π,ϵ0，剩下的ψ（r,θ,ϕ）与E是我们要求解的未知量。后者是一个数，前者是一堆数，由r,θ,ϕ三个参量标识，它们不同的取值都有一个对应的ψ的取值。换句话说，ψ是一个所谓未知函数。∇是一个作用在函数上的算符，描述函数的变化。
这个方程在历史上有着里程碑式的意义。20世纪以来，随着实验设备越来越先进，微观世界的大门被逐渐打开。物理学家们惊讶地发现，眼前看到的是一片前所未见的神秘世界，微观粒子的行为完全不能用过去那套针对宏观物体的方程来描述，曾经被认为像小球一样的那些粒子（particle），有时却会表现出波（wave）的特性。于是，各路英雄豪杰开始提出各种新的理论与假说。最终，1925年，薛定谔提出了如今以他的名字命名的薛定谔方程，用所谓波函数（wave function）——也即方程（1.3）中我们要求解的ψ——来描述微观粒子。从这个方程出发，如今人们已经建立了一套非常宏大的量子理论，完美描述了微观尺度的宇宙。氢原子由一个原子核伴以一个电子构成，算是最简单的微观系统了，自然成为了初生的量子理论小试牛刀的对象。不用怀疑，人们找到了氢原子薛定谔方程的解，并用实验验证了它的确更好地描述与解释了我们所观测到的自然！
于是，下一个问题便来了，那到底什么是方程的解呢？
1.2 薛定谔的氢原子 我们说方程（1.1）的解是n=84，意思是把n替换成84代入式子的两边，等式成立。同样，说方程（1.2）的解是a=23，b=12，意思是将它们代入式子后，两个等式均成立。于是，我们可以将方程的解归纳为如下概念。
概念1.3 方程的解（solution）是使得方程所述等式成立的对未知量的赋值。
无论是从问题1.1还是概念1.3的表述，我们都不难意识到：这样的赋值可能找不到，方程可能无解！比如下面这个方程：
x+1=0
一个小学一年级的学生肯定会说它无解，因为0已经是最小的数了，怎么可能有一个数加上1才等于它？然而，等到二年级老师教了负数后，他便会意识到，这个方程可以有解x=−1。不久，他又遇到了一个新的方程：
2x=−1
一个数的两倍肯定是个偶数呀，怎么可能等于−1呢？不急，到了三年级学了分数后，解就又有了，即。可惜好景不长，很快又一个方程冒了出来：
x2=−1
好的，我读书再少，可任何数的平方都是非负的，这不会有错吧？！这个方程肯定没解！谁料，若他上到高中读了理科，便会学到一种叫“复数”的数。你说解不存在？好，我们引入一个符号i，规定它满足性质i2=−1。于是，现在i就是这个方程的解了！有点赖皮？别急，在后文我们将会看到，这个小小的i背后可是隐藏着非常深刻的抽象！
这还没完，前面方程的解都是一个个看得见摸得着直截了当的数，那下面这个方程呢？
我可以告诉你它的一个解是(5)
x=sin6◦
没错，是一个用所谓三角函数表示的值。没人规定方程的解一定要是“数”呀，它完全可以是一个表达式，而且可能超级复杂。就再拿我们的氢原子薛定谔方程（1.3）来说吧，它的解是（再强调一遍，这个例子超纲了，看得头疼就跳过！）：
其中，等号左边就是我们要求的未知函数ψ（r,θ,ϕ），但是你注意到没有，它有三个下标n,l,m，这表示我们不仅有一个解，而是有一堆解，每一个合法的（n,l,m）就标识了一个解。物理上，这三个数叫量子数（quantum number），它们的取值为
· n=1,2,3…
· l=0,1,2,…,n−1
· m=−l,…,l
所以，ψ1,0,0、ψ3,2,−2、ψ100,99,−99等都是解，它们描述了特定状态下的氢原子。等号右边自然给出了解的具体表达式，显然它不是一个简单的数。根号下是一些常数，e−ρ/2ρl是参量ρ的简单函数，也还好，而L和Y这两个人畜无害的字母可就复杂了。