简介
这是一本通俗的数学史读物，集结了数学史上那些令人尖叫的闪耀时刻，为读者展示每一个时刻给人类文明带来的后果和相互交织的影响。
如果说，数学是上帝给人们的说明书，那这本书就是对说明书的解读。
欧几里得以外的宇宙不是只有三维，
虚数的由来从一段背叛的历史中产生，
无理数的发现居然来自法老王的挑战，
自然数0中充满禅意的虚无解脱了人们对自然数的认识……
数学的浪漫和璀璨，远远比你想象中要简单！
作者介绍
翁贝托·博塔兹尼（Umberto Bottazzini）
国际知名数学史专家，曾任国际杂志《数学史》主编。
2002年获邀在北京第24届国际数学家大会发表演讲
2006年荣获毕达哥拉斯奖
2015年荣获数学史领域列昂•艾伯特•怀特曼纪念奖
2017年受邀访问中国科学院自然科学史研究所
他擅长将对数学的洞察力与对背景和思想史的高度敏感结合在一起，博塔兹尼的诸多著作包含了应用数学中出现的重要基础性问题，它简明扼要地抓住了数学家的生活和兴趣。 ——2015年列昂•艾伯特•怀特曼纪念奖颁奖词
部分摘录：
刻痕与结绳＞＞ 有人听说过鲁滨孙吗？他是丹尼尔·笛福写的一部小说《鲁滨孙漂流记》里的英雄。去年（2019年）是这部小说诞生300周年。你们还记得它讲了什么故事吗？鲁滨孙年少时离开了自己出生的城市约克，在非洲海岸经历了数次惊险的冒险。之后，海员鲁滨孙在巴西定居，成了一个甘蔗种植园主，将种植园经营得顺风顺水。在巴西，只有少数获得西班牙国王和葡萄牙国王批准拥有奴隶专营权的商人可以进行奴隶贸易，但是他们不可以把奴隶公开贩卖给有需要的人。因此，鲁滨孙的朋友们——一群种植园主决定出资装备一条船，前往几内亚，购买大量的奴隶，偷偷地把他们运到巴西的一个海岸上卸下，然后瓜分。这帮人说服了鲁滨孙加入他们。
鲁滨孙十分不情愿出海购买奴隶。在海上航行了几周后，他们的船遭遇了一次可怕的暴风雨。船被狂风暴雨裹挟着，几天后触了礁，被撞得七零八碎，搁浅在了一座小岛附近。鲁滨孙上了岸，成了这次海难唯一的幸存者，其他船员则全部遇难。
在那里待了十天或是十二天之后，我突然想到，我没有纸笔和墨水，可能会忘记时间，甚至会把休息日和工作日弄混。为了避免这种情况，我把一个树干做成十字架的样子，竖在了自己第一次上岸的地方，用小刀在上面刻下了：我于1659年9月30日这一天在此处上岸。我每天都会在木桩的两边刻下划痕，第七天的刻痕比前面的长一倍。到了每个月的第一天，刻痕也会比前一天的长一倍。如此一来，我有了自己的日历，或者说是一个计算着周、月、年的记录柱。
在那一刻，在那片海滩上，身处那个时代的鲁滨孙再次发现和使用了一种人类数百万年前发明的计时方法。20世纪30年代，在摩拉维亚的下维斯特尼采出土了一块属于旧石器时代的狼骨，证实了这点。这块狼骨上有55道刻痕：最开始的25道，被均分成5组，每组5道，最后一道，也就是第25道，比前面的长一倍；接下来的30道刻痕，也被平均分成了6组。刻下这些划痕的史前人类或许是想数数他羊群里的羊，以5为基础的计数极有可能是从手的手指数目获取的灵感。可是，如果你们问他，他有多少只羊，他是无法回答的。他没有数字的概念，更没有可以表达数字的话语。他大概只能给你看看他刻在狼骨上的划痕，然后说：瞧，这刻痕和我的羊一样多。当羊群从我面前经过，我照着手指头，一组一组刻下的。
普罗透斯[1]的做法与此相同。荷马在《奥德赛》中写道，普罗透斯通常会“望着所有海豹，指着它们，五只五只地数着，然后躺下睡觉，就像羊群中的牧羊人”。鲁滨孙需要计算的可不是羊或海豹，而是周和月，因此他在计算中引用了一个重要的变体。你们也会有同感，如果一个人想要计算时间的流逝，一只手上的五根手指派不上什么用场。与下维斯特尼采的牧羊人不同，鲁滨孙生活在17世纪，他有数字的概念，也知道计算。因此，他遵循基督教历法，不是在每个第五天，而是在每个第七天都刻一条双倍长的刻痕，做出的恰恰是糅合了古巴比伦历的犹太历[2]。
位于乌干达和刚果边境的爱德华湖边上有一个地方，叫伊桑戈。下维斯特尼采的狼骨出土后，过了大约二十年，在伊桑戈附近发掘出了一块骨头，或许是狒狒的一块小腿骨，大约出现在两万年前。和下维斯特尼采的狼骨一样，伊桑戈骨上也有大量刻痕，共有三列，每列的刻痕又有不同的分组。第一列共有48道，其他两列分别有60道。关于我们的远祖智人为什么刻下这些划痕，出现了各种各样的猜想。你们也可以推测一下。比如，每列的刻痕数都是12的倍数，这只是个巧合吗？其中一列每组的刻痕数为11，13，17和19，都是10到20之间的质数，这也是偶然吗？有人猜测，如果这些刻痕数与质数没有什么更深的关系，那这也许是一种以12为基础的计量进制，就像我们钟表的计量系统一样，这个猜想正确吗？
或许，刻在勒邦博骨上的29道划痕显示的意义更明晰。勒邦博骨也是狒狒的一块小腿骨，出现在约3.7万年前，于1973年出土于南非和斯威士兰之间的勒邦博山脉。有人猜想这块骨头上的刻痕有一种仪式的含义，与月相更替周期，也就是两轮满月之间的天数有着某种联系。这种推测确实看起来有道理。当人们在法国南部阿尔卑斯山的一个洞穴里发掘到一片旧石器晚期（约1.2万年前）的骨头时，他们发现，虽然远隔千里，相隔万年，但这片骨头上也有被分组刻下的29道划痕，使人不禁联想到阴历，怎能不为之惊讶呢？
卢梭称《鲁滨孙漂流记》为“有关自然教育的最贴切之论”。无论如何，当笛福写这本小说时，他当然不可能知道这些出土文物，可他对另一种类似的计数方法却有着直接的认识。这种方法在数世纪前被引入英国，在笛福生活的年代仍在使用。
在12世纪，亨利一世规定，财务部在木棍上刻痕以核算国家财政。1855年6月27日，查尔斯·狄更斯在伦敦的行政改革协会发表了一场精彩的演讲，他毫不犹豫地称这种计数方式是“一种原始野蛮的方式”。你们可以想象，财政计算账目“就像鲁滨孙在荒岛上计算日子一样”！这种特别的计数方式是什么样的呢？将榆树枝做成的木棍纵向劈开，两边对应着刻上划痕。根据它们所要表明的数目，如1，10或者100英镑，或是先令、便士，刻痕间的宽度以及刻痕的深度有所不同。木棍短的一半留在英国银行，长的一半由借贷人保管。不管哪边增加还是抹除刻痕，都是很容易看出来的：对应的两半应该完全吻合一致。只有一边的话，不作数，也就是当时说的“半道痕（无用）”。这“半道痕”的意义一目了然，也无须多做解释了。
虽然难以置信，但这种计数制度在英国沿用了好几个世纪。随着时间流逝，狄更斯仍在坚持发声：“无数的会计、书商和保险统计员出生又死去，可官僚还在依赖那些刻了划痕的小木棍，仿佛那才是宪法的支柱；财政部还在用一些榆树枝，也就是所谓的计数棒核算收支。”
我们看到鲁滨孙在孤岛上抱怨没有纸笔，不得不用过去刻痕的办法计时。（1913年，詹姆斯·乔伊斯[3]在的里雅斯特的一场会议上，认为鲁滨孙的行为“真实地象征着英国的掠夺，预示着帝国的形成”。从海难中幸存的鲁滨孙，口袋里仅剩一把匕首、一个烟斗和一包烟草，却是“真实的英国殖民者的典型模样”。）笛福所生活的大不列颠并不缺少笔墨纸、黑板和粉笔，更不必说1760年至1820年乔治三世统治的六十年里。或许是受英国改革影响，一些富有革命精神的人开始思考，是否应该摈弃这种已经落后的中世纪时使用的方法，转而使用纸笔。可所有官僚，仅仅只是听到这样一种“大胆新颖的想法”，就起身反对，讽刺挖苦狄更斯。直到1826年，计数棒制度才最终被废除。在举行了一系列会议、签署了无数备忘录和公文之后，所有的计数棒都堆积到了威斯敏斯特宫里。
这些堆积成山的腐朽的小木棍，该怎么处理呢？狄更斯说得没错：最简单的办法，也是每一个聪明人自然而然会想到的办法，就是把它们分给居民区的穷人当作薪柴。然而，负责销毁计数棒的人没有这么做，而是打算在威斯敏斯特宫的小壁炉里烧毁它们。最终，一个离谱的主意诞生了：在上议院的一个火炉里偷偷焚毁这些可笑的小木棍，就像鲁滨孙计划偷偷把奴隶运到巴西海岸一样。只是鲁滨孙的计划埋葬在大海里，而这个荒唐的办法则葬身在火海之中。1834年10月16日的夜晚，火焰从塞满了一车木棒的火炉里，蹿上墙上的挂毯和木制覆盖物。很快，火势从上议院蔓延到下议院，最终整个议会大厦在这场世纪大火中化为灰烬。威廉·透纳[4]在泰晤士河边目睹了这一幕之后，创作了一幅画，描绘的正是这场大火[5]。
这种计数棒制度在其他国家也得了广泛的运用，只是最后的下场没这么惨烈。在《米歇尔·朗德：罗马历史》（1949年）一书中，安德烈·菲利普讲述说，19世纪中期前后，在法国圣艾蒂安城的乡村里，面包店老板还会用计数棒计算赊出去的面包数量。每到月底，妇女们会带着一根小木棒去面包店清账，木棒上有被锉刀刻出的划痕。面包店老板通常会用一根皮带把木棒穿起来，他会对比顾客手上的木棒与自己手中持有的副本。如果划痕相符，顾客就可以清账，然后丢掉木棒。当时的人们是如此依赖于使用计数棒，1804年颁布的《拿破仑法典》第1333条甚至规定：“如果主体利用刻痕来明确表示自己供应或购买的物品，那么只有正副本上的刻痕数量相符，才具有效力。”到了19世纪末，爱德华·卢卡斯[6]在他的《数字理论》（1891年）中，也把面包师傅的计数棒和在远古洞穴中发现的刻有规律划痕的骨头做比较，以表明不只有法国乡村的面包师傅会使用刻痕计数。
这种在小木棍上刻痕以记录借贷数目的方式，不仅存在于瑞士、德国和俄国，还有意大利。路易吉·卡普安纳在小说《棺材》中也提到了这点。现在，我们来到19世纪下半叶，西西里的米内奥市。
有一天，科拉·纳斯卡推着小车来了，想一次性倒空圣弗朗切斯科的酒桶。唐纳·萨尔瓦特丽切天蒙蒙亮时就在店里了。她坐在拐角处，旁边是酒桶，一手拿着用来刻痕的木棍，一手拿着一把不值钱的铁柄小刀，以防哪个骗子偷窃。每倒满十六壶，她就在光滑的木棍上刻一道痕。木棍被一分为二，一半给纳斯卡，这样一来，他们就不会出错了。
但是，可怜的唐纳·萨尔瓦特丽切没法完成全部的操作了。她突然面色苍白，瞪大双眼，从椅子上跌落下来。她的动脉破裂了，而作为小说名字的“棺材”无疑成了她的最终归宿。直到20世纪中期，在西西里（还有阿普利亚和卡拉布里亚大区）一些地区的农民和店家似乎仍在沿用卡普安纳所讲述的这种方法，他们甚至有一句方言“arrumpirilitagghi（毁掉划痕）”，意思是清账。德语中也有和这句差不多的话，如果“Kerbholz”指的是刻有划痕的小木棍，那么“etwas auf dem Kerbholz haben（字面意思是木上有刻痕）”指的就是有未付清的账，通常是为了保证公平。说到意为“保证公平”的习语，“mettere una taglia（刻一道痕）”似乎也来源于这种实践。
目前据人们所知，当欧洲广泛采用这种计数棒制度时，世界的另一端使用的却是其他计数方法。例如，秘鲁古代印加人用一种叫作“奇普（quipus）”的绳结计算各种事物，计量天文、巫术或者日常生活。根据编年史和发现的图像，人们发现，印加人使用一种叫作“优巴纳（yupana）”的算盘，在上面堆放、挪动种子进行计算，再将结果编结于奇普上。
费利普·瓜曼·波马·德·阿雅拉是一位出身贵族、皈依天主教的土著。他撰写的巨著《新编历史和好政府》为我们展现了印加风俗与文明，这部一千多页的手稿现存于哥本哈根的丹麦皇家图书馆。阅读这本书，我们就会知道，在西班牙人入侵印加帝国之后，仍保留了“奇普专员（quipucamayoc）”这个职位一段时间。奇普专员是印加帝国设立的负责编结和译解奇普的人员。然而，为了让当地人信仰基督教，西班牙政府决定解除奇普专员的公共职务，也毁掉所有奇普（幸好不是全部！），因为他们认为奇普是偶像崇拜的工具。
在《马可·波罗游记》中，我们会发现中国人民也采用了一种和印加人民类似的方法，并且沿用了数个世纪。中国最古老的文献之一《易经》中说“上古结绳而治”。这里的绳就像秘鲁的奇普。据希罗多德[7]说，波斯国在大流士一世统治时期就已经在使用这种结绳了。