简介
《对称》是讨论数学、科学、自然界和艺术中的对称性的一部经典著作。
从对称代表了比例的和谐这一理念出发，作者逐步深入研究了对称性更多抽象的种类和表现方式，比如左右对称、平移对称、旋转对称、装饰对称性和晶体对称性。作者借助大量的插图，详细讨论了这些特殊表现形式下所暗藏的一般数学概念。本书不愧为探讨对称性的各种应用与重要性的一部启发性力作。
作者介绍
赫尔曼·外尔（Hermann Weyl，1885—1955）是20世纪最伟大的数学家之一，且在量子物理学和广义相对论的发展方面作出了重要贡献。他是普利斯顿大学高等研究院的一员，有多种著作问世。
部分摘录：
平移、旋转及相关对称性 现在我们来讨论其他类型的几何对称性。即使在讨论左右对称性的时候，我也忍不住偶尔讨论一下其他对称性，比如柱对称性和球对称性。我们最好先给出一些基本概念的精确定义，这需要一些数学知识，希望读者能耐心阅读。前面已经谈到过变换。空间映射S 把空间中每一点p 与它的像p ʹ对应起来。恒等映射I 是这种映射的一个特例，它将每一点p 映射为自身。给定两个映射S 、T ，可以先进行其中一个再进行另一个：如果S 将p 映射为p ʹ，T 再将p ʹ映射为p ʹʹ，那么复合映射则将p 映射为p ‘ʹ，记该映射为ST 。映射S 可能有一个逆映射S ʹ，使得SS ʹ=I 且S ʹS =I 。换言之，如果S 将p 映射为p ʹ，那么S ʹ则将p ʹ映射为p ；先进行S ʹ映射操作再进行S 映射操作会有类似的效果。在第一讲中我称这种一对一的映射S 为变换；现在我们把相反的变换标记为S -1 。当然，恒等映射I 也是一个变换，且它是自己的逆变换。作为左右对称性的基本操作，平面反射的迭代SS 会得到恒等映射。换言之，平面反射是其自身的逆映射。一般来说，映射的组合是不满足交换律的，ST 与TS 并不一定相同。比如，取平面上一点o ，令S 为水平平移映射，它将o 平移至o 1 ；而映射T 表示绕o 点旋转90°，那么ST 就把o变换至o 2 （图19），但TS却将o变换至o 1 。如果S具有逆变换S -1 ，那么变换S -1 的逆变换为S 。两个变换的组合ST 仍是变换，且（ST ）-1 等于T -1 S -1 （注意这里的次序！）。你们都很熟悉这一规则，虽然可能并不熟悉它的数学表达式。穿衣服时，顺序并非无关紧要，总是先穿衬衣后穿外套；而脱衣时顺序正好相反：先脱外套后脱衬衣。
我还讲过一类特殊的空间变换，即几何学家所谓的相似（变换）。但是我更喜欢把它们称为自同构，并采用莱布尼茨的定义——保持空间结构不变的变换。就目前的讨论来说，何种空间结构并不重要。从自同构的定义来看，显然恒等变换I 就是一个自同构，而且如果S 是自同构，则其逆变换S -1 也是自同构。另外，两个自同构S 、T 的复合映射ST 仍是自同构。将上述几点换个说法：（1）每个图形都与自身相似；（2）如果图形F ʹ相似于图形F ，则F也相似于F ʹ；（3）如果F相似于F ʹ，且F ʹ相似于F ″，则有F相似于F ″。数学家们用“群”这个词来描述这种情况：自同构构成一个群。变换的任何总体，即变换的任何集合Γ只要满足下列条件就构成一个群：（1）恒等变换I属于Γ；（2）如果变换S 属于Γ，则其逆变换S -1 也属于Γ；（3）如果变换S 和T 都属于Γ，则其复合变换ST 也属于Γ。
有一种通过全等（congruence）的概念来描述空间结构的方法，牛顿和亥姆霍兹都很喜欢。比如同一刚体在不同位置时所占据的两部分空间V 和V ʹ，就是空间的两个全等部分。如果将此刚体从某位置移动到另一位置，则刚体中占据V 中点p 处的粒子将占据Vʹ 中的点p ʹ，因此移动的结果就是建立了从V 到V ʹ的映射p →p ʹ。我们可以真实地，也可以在想象中扩展该刚体，从而占据空间中任一给定点p ，这样，全等映射p →p ʹ便可扩展至整个空间。任何这种全等变换（congruent transformation）——可以证明，它有逆变换p ʹ→p ，所以我才称之为变换一一都是相似变换或自同构；从它们各自的概念可以很容易看出这一点。而且，可以证明，全等变换构成一个群，自同构群的一个子群。更详细的讨论如下：相似变换中存在一类并不改变物体尺寸大小的变换；现在就称这些变换为全等。全等可能是真的（proper），即将左螺旋变换为左螺旋，右螺旋变换为右螺旋；也可能是非真的（improper）或反射的（reflexive），即将左螺旋变为右螺旋，将右螺旋变为左螺旋。真全等就是刚才我们所说的将移动前后刚体上各点的位置关联起来的全等变换。出于简便，我们现在称之为（几何意义上而非运动学意义上的）移动，并称非真全等为反射。这里沿用了一个最重要例子的叫法：平面反射，即物体变换为自身的镜像。于是我们就有了下述序列：相似→全等=尺寸大小不变的相似→移动=真全等。全等构成了相似的一个子群，移动又构成了全等的一个指数为2的子群。“指数为2”的意义如下：如果B 是任意非真全等，则将B 与所有可能的真全等S 组合成复合全等BS ，便得到了所有的非真全等；因此整个全等群一分为二：前一半为真全等，后一半为非真全等。但只有前一半构成一个群；因为两个非真全等A 、B 的复合AB 是真全等。
保持O 点固定不变的全等可称为绕O 点的旋转；进而有真旋转和非真旋转。绕给定中心O 的所有旋转构成一个群。最简单的全等是平移。平移可以用向量 表示，因为如果平移将点A移动至Aʹ，将点B移动至Bʹ（图20），则BBʹ与AAʹ具有相同的方向和长度，换句话说，向量 。 [12] 所有的平移构成一个群；事实上相继进行的两个平移 和 得到平移 。
所有这些与对称性有什么关系呢？它们提供了定义对称性所需要的数学语言。对于给定的空间构型 来说，保持 不变的空间自同构构成了一个群Γ，而且该群精确地描述了 所拥有的对称性。空间本身具有对应于所有自同构、所有相似构成的群的全部对称性。空间中任意图形的对称性由该群的一个子群来描述。现在来举例说明。图21是浮士德博士用来诅咒魔鬼靡菲斯特的著名的五角星形。在五个绕中心O的真旋转（每个旋转的角度为360°/5的整数倍，包括全等变换）的作用下，以及在沿中心O与各顶点的连线进行的反射变换的作用下，该五角星均保持不变。这十个操作构成了一个群，并且告诉了我们五角星形所具有的对称性。因此，用任何自同构群来替代平面上的反射，才能把左右对称性自然地泛化至这种更广泛几何意义上的对称性。平面上圆心为O 的圆具有由所有平面旋转构成的群所描述的对称性，空间中球心为O 的球具有由所有空间旋转构成的群所描述的对称性。
